Atome de Bohr

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Le modèle de Bohr repose sur la théorie quantique de Planck selon laquelle l’échange d’énergie entre le rayonnement et la matière ne s’effectue que par quantité finie ou par quantum (paquet) d’énergie égal à hv.

E = hv —-(1) où E : énergie en joule; h : constante de Planck = 6.62 10-34 J.s.
v = fréquence s-1.

Bohr a donné plusieurs postulats:

1- L’électron de l’atome d’hydrogène ne gravite autour du noyau que sur certaines orbites privilégiées (orbites stationnaires) qui forment une suite discontinue, à chacune de ces orbites correspond une énergie E.

2- Durant son mouvement autour du noyau, l’électron ne rayonne pas, son énergie ne varie pas et son mouvement ne s’amortit pas. Sur chaque orbite privilégiée, l’équilibre dynamique de l’électron obéit aux lois de la mécanique classique.

3- Lorsque l’électron passe d’une orbite ni à une orbite n2, il absorbe ou émet une quantité d’énergie rayonnante ÀE.

ΔE = hv = | En2 – En1 | ——– (2)

Remarque: le passage se fait par saut brusque.

4- Les seules orbites possibles sont tel que le produit de la quantité de mouvement (mv) par le rayon (r) de l’orbite soit un multiple entier de la constante de Planck h.

mvr = nh / 2 ∏ ——- (3) où : n = nombre entier ∈ N*.

CALCUL DU RAYON DE BOHR :

Condition de stabilité : ΣF = 0 => Fatt + Fc = 0 (*)

Fatt = Kqq’ / R2 = – Ke2 / r2; Fc = mv2 / r.

(*) => (mv2 / r) – (Ke2/r2) = 0 => mv2 = Ke2/ r ——- (4)

où: K = constante de Coulomb = 9 109Nm2C -2.

Du quatrième postulat : v = nh / 2∏mr (**)

Injectons (4) dans (**), on aura : m ( n2 h2 / 4 ∏2 m2 r2 ) = Ke2 /r =>

r = (h2 / 4∏2 Ke2 m) n2 ———(5)

Pour l’hydrogène dans son état fondamental :
n = 1 avec h = 6.62 10-34 J.s
K = 9109Nm2C-2
me =9.1 10-31 Kg
e =1.6 10‘19 C.

On aura : rhydrogène = 0.53 10-10 m = 0.53 A0 = rayon de Bohr = r0.

d’où:          rn = r0 n2 ———–(5’)

CALCUL DE L’ÉNÉRGIE :

Conservation d’énergie : E = Ep + Ec

Ec = ½ mv2 ; Ep = (-Ke2 / r2) r = -Ke2/ r.

Ep + Ec = ½ (Ke2 / r) + (-Ke2 / r) ; [ mv2 = Ke2 / r] =>

E = -Ke2 / 2r ———(6)

De (6) : E = -Ke2 / 2r et de (5) : r = (h2 / 4∏2 Ke2 m) n2 , on obtient :

E = (- 2∏2 K2 e4 m / h2 ) 1 / n2 ———(7) =► Quantification de l’énergie

Pour l’hydrogène dans son état fondamental : n = 1

(7) => Ehydrogène = -13.54 « -13.6 e.V.

d’où : En = E1 / n² ———-(7’) où : Ei -13.6 e.V.

FORMULE DE BALMER :

Du troisième postulat : ΔE = | En2 – En1 | = hv = hC/λ=hCv

où : λ = longueur d’onde
v = nombre d’onde = inverse de λ
v = fréquence.

Si n2 > n1 : ΔE = h Cv = 2∏2 K2 e4 m / h2 ( 1 / n12 – 1 / n22 )

=> v = 2∏2K2e4m/h3C ( 1/n12 – 1/n22)
=> v = RH ( 1 / n12 – 1 / n22 ) ———(8) Formule de Balmer

où : RH = 2∏2K2e4m / h C = 1.1 10 cm-1 = 2.2 10-18 J = 13.75 e.V = constante de Rhydberg.

Remarques :

1) n1 représente une série de raies.
Si n1 = 1 => série de Lyman => ultrat violet (U. V).
Si n1 = 2 => série de Balmer => visible.
Si n1 = 3 => série de Paschen => Infra-rouge (I.R).
Si n1 = 4 => série de Brackett => Proche infra-rouge.

n2 représente une raie dans une série n2 > n1

Série Ni n2 région du spectre longueur d’onde en A°
Lyman 1 2,3,4,…. U.V 1215.7 ≥ λ ≥ 972.5
Balmer 2 3,4, 5,…. visible 6563 ≥ λ ≥ 4341
Paschen 3 4,5,6,…. I.R 18750 ≥ λ ≥ 10940
Brackett 4 5,6,7,…. proche I.R 40500 ≥ λ ≥ 26300

Chaque raie est caractérisée par sa fréquence v ou son nombre d’onde v qu’il est possible de mesurer.

2) Si n2 = ∞ on parlera de raie limite et E = 0.

on définit alors, l’énergie d’ionisation Ei comme étant l’énergie qu’il faut fournir à

l’atome pour extraire un électron ( envoyer l’électron à l’infini ).

Ex : Ei = E – E1 = 0 – ( – 13.54) = + 13.54 e.V pour l’atome d’hydrogène.

GÉNÉRALISATION :

La théorie de Bohr est applicable à l’hydrogène et aux ions hydrogènoïdes.

Un hydrogènoïde est un ion dont le noyau contient Z protons et ne possède qu’un seul électron comme l’atome d’hydrogène.

Diagramme énergétique (exemple de diagramme)

Remarques :

– On dira transition (flèche à double tête); lorsqu’on ne distingue pas entre émission ou absorption.

-Les raies d’une série se resserrent de plus en plus près d’ime raie limite au delà de laquelle le spectre est continu car l’énergie n’est pas quantifiée.

CONCLUSION :

La théorie de Bohr eût le mérite d’expliquer le spectre de l’atome d’hydrogène et des ions hydrogénoïdes grâce à la notion de la quantification; tout en gardant les lois de la mécanique classique. Mais elle s’est trouvée incapable d’expliquer les spectres des atomes plus lourds.

En réalité, les électrons ne décrivent pas une trajectoire circulaire, on parle plutôt de probabilité d’existence des électrons dans un certain domaine.

Cours du Dr Tayeb Benmachiche Akila – Faculté de Constantine

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